BJT 전류 유도하는 방법

이번 글에서는 콜렉터 전류를 유도하려고 합니다. 우선은 law of junction을 활용하여 boundary condition을 얻으려고 합니다.

전압이 가해져 있을 때, n과 p의 농도는 쿼지 페르미 레벨의 영향을 받게 되고 전개를 하게 되면 n의 값이 나오게 됩니다. 그리고 excess carrier의 농도는 현재 n의 농도에서 평형 상태의 n의 농도를 빼주게 되면 새롭게 만들어진 excess carrier의 농도를 구할 수 있으며 구한 excess carrier는 n',p'으로 표현을 할 수 있게 됩니다.

 

이제는 current continuity equation을 사용합니다. 작은 육면체 박스를 하나를 생각을 해봅니다. 그리고 그 육면체 박스 안에서 시간에 따른 캐리어 농도의 변화를 생각해보죠. 그렇게 되면, 박스로 들어오는 캐리어, 박스에서 나가는 캐리어, 박스에서 재결합되는 캐리어, 박스에서 만들어지는 캐리어. 이 정도가 있겠네요.. 좀 더 쉽게 설명하자면, 우리 대구라는 도시에서 자동차의 변화율은 외부에서 우리 도시로 들어오는 자동차, 대구에서 나가는 자동차, 폐차가 되는 자동차, 공장에서 새롭게 찍어지는 자동차 이렇게가 있겠지요? 자동차는 하늘에서 어느 날 갑자기 딱~ 떨어지지는 않으니까요.

 

그것을 수식으로 풀어쓴 것이 다음입니다.

그 결과 수식은 이렇게 되었습니다. 박스에 들어오고 나가는 녀석은 p에 관한 이계미분식으로 표현이 되었고, 리콤비네이션 하는 텀은 p를 recombination time으로 나눈 값으로 표현이 되었습니다. 여기까지가 전류를 구하기 위해 준비가 끝난 상태입니다.

 

우리는 이제 콜렉터 전류를 구하기 위해 몇 가지 가정을 합니다.

1. active mode( B-E : Forward , B-C : Reverse)

2. neglecting drift in the neutral base

3. uniform doping, uniform cross-sectional area

4. steady state and low level injection

5. ideal ohmic contact

 

이것을 가정을 합니다.

1번의 가정은 우리가 액티브 모드의 컬렉터 전류를 구하기 위해서 하는 것이고

2번의 가정은 앞에서 공부했듯이 neutral base에는 field가 아주 적기 때문에, neutral base에는 drift current가 없다고 봅니다.

3번의 가정은 계산의 편리성을 위해서 합니다.

4번의 가정은 steady state에서 시간에 대한 변화율이 0이라는 것과 slope가 ideal 하기 위해서 사용하는 것이구요.

5번의 가정은 boundary condition을 위해 사용합니다.

 

 

steady state라 가정하면 시간에 대한 n,p의 변화율은 0이 됩니다. 그것을 활용하여 식을 전개를 합니다.

이렇게 이계 미분 방정식의 일반해를 구하게 되었으며 이제 A1과 A2 값을 찾아야 하므로 경계조건을 봅니다.

1번은 제일 앞에서 구한 law of junction으로부터 나왔으며, 2번은 reverse bias에 의해 0보다는 약간 작은 값을 가지지만, 계산의 편의를 위해 0에 가깝다고 보는겁니다. 그렇게 경계 조건을 투입하여 A1,A2를 구해보면 전개하면 다음과 같습니다.

 

 

 

 유도 결과 컬렉터 전류는 이렇게 나오게 됩니다. 그리고 이제 전류를 그래프를 통해 한번 살펴보려고 합니다.

이 그래프를 보세요. x축의 영역은 neutral base의 영역만 나타내는 겁니다. X/WB가 되므로, X는 WB에 대한 비율로 볼 수 있고 X=WB가 되는 순간 그 X/WB는 1이 되겠네요. 그리고 Y축도 역시 비슷하게 보시면 됩니다.

 

그래프 내에서 검은색 줄은 Base내에 recombination current가 없을 때를 이야기 하며, 노랑색은 recombination current가 존재할 때를 생각한 것입니다. 검정색을 보면 slope가 일정한 반면에 노란색은 slope가 가운데 부분에서 오히려 감소하죠.

 

 base에서는 diffusion으로 흐르기 때문에, diffusion current가 dn'/dx에서 생긴다는 것, 즉 접선의 기울기로 결정이 된다는 것을 먼저 염두해고 그래프를 볼까요. 검정색은 리컴비네이션이 없기 때문에 slope가 일정합니다. 이것은 이미터에서 인젝션 되는 것(x=0)과 컬렉터로 인젝션 되는 것(x=WB)에서의 전류가 같다는 것을 의미합니다. 중간에 리컴비네이션이 없기 때문에 당연한겁니다.

 

 하지만, BJT는 대부분 BASE에서 리컴비네이션을 하기 때문에 excess carrier농도가 상대적으로 감소하게 됩니다. 그런 이유 때문에 가운데서 slope가 조금 바뀌게 되는 것이구요. 따라서 X=0에서 slope와 X=WB에서 slope가 다릅니다. 그래서 전류의 입장으로 본다면, '이미터에서 인젝션 된 전류와 컬렉터로 인젝션 되는 전류가 다르다' 라는 것을 알 수가 있습니다.