emitter bandgap narrowing 이라는 것은, 말 그대로 이미터의 밴드갭이 좁아지는 것을 의미합니다. 기존의 물질에 의해서 결정되는 밴드갭보다 훨씬 좁아지는 것을 의미합니다. 어떤 상황에서 이런 일이 일어날까요? 그것은 바로 헤비 도핑 되었을 때 일어납니다. 우리는 이 책의 1장에서 밴드가 형성되는 원리를 배웠습니다. 바로, 여러개의 state가 같은 상태에 있게 되면 배타의 원리에서 분할이 되며 그 분할이 수없이 많아질 때 에너지 상태가 discrete가 아닌 continue하게 이어지면서 밴드가 된다는 것을 배웠습니다.
그것과 마찬가지로, 어떤 에너지 레벨에 수많은 도핑을 한다면 이 역시 배타의 원리에 의해 그 도핑된 레벨이 위, 아래로 확장을 하게 됩니다. 그리하여 split된 밴드가 conduction band나 valance band와 만나게 되면 그게 마치 밴드갭인 것처럼 작용을 하게 됩니다. 그러면 실제적인 밴드갭이 줄어들게되며, 그 결과 intrinsic 농도가 증가하게 됩니다.
왼쪽 그림을 보면 위에서부터 차례로 Ec,Ed,Ev가 있습니다. ED에 도핑이 되었는데 도핑의 농도가 증가하게 되면서 band split이 일어나게 됩니다. 그리하여 실제적인 밴드갭은 Eg가 아니라 Eg,eff가 되게 되는 것입니다. Eg,eff가 되게 되면 기존의 밴드갭보다는 밴드갭이 작아지게 되면서 인트린직 농도는 증가하게 되는 것입니다. 또한, 그림에서 볼 수 있듯이 band split은 위,아래로 확장을 합니다. 그리고 이런 밴드 split을 E-K 그래프에 대해서 보게 된다면 오른쪽 그림과 같습니다. 원래는 포물선 형태였는데, degenerate가 되면 포물선 형태를 벗어나 빨갛게 그려진 band tail이라는 형태가 되게 됩니다. 이것은 왜 이렇게 되는지 모르겠으나, 수업 시간에 교수님께서 잠깐 언급하고 넘어가신 부분이라 알아두고 있습니다. 이제는 위에서 언급한 Eg가 감소하니 ni가 증가한다는 것을 수식적으로 한번 알아보겠습니다.
라이트하게 도핑된 곳에는 Eg라는 텀이 들어갔는데, 헤비 도핑되어 degenerate가 되게 된다면, Eg 대신에 Eg-△Eg가 들어가게 됩니다. 그 수식을 정리하고 전개하면 마지막에 있는 ni^2이라는 텀에 익스포넨셜 텀이 곱해져있는 식이 나오게 됩니다. 즉, 원래 인트린직 농도보다 root exponential 텀이 더 추가 된 것이고, 원래 값보다 값이 더 증가한다는 것을 의미하게 됩니다. 즉 niE라는 값은 증가합니다. 실제적인 예를 들어서 한번 살펴보겠습니다.
이미터가 10^20만큼 도핑된 경우 밴드갭 변화에 따른 익스포넨셜 텀의 값은 e^4이 되어 약 50이 됩니다. 여기서 nIE= ni * root( 50 )이고 root(50)을 약 10으로 본다면 niE는 ni에 비해 10배 정도가 더 증가한 값이 되게 됩니다. 그리고 이 증가한 텀을 앞선 포스팅에서 이야기했던 current gain에 집어넣게 된다면 niE가 제곱으로 증가하기 때문에 오히려 gain이 떨어질 수가 있습니다. 즉, 이것을 종합해보면 무작정 doping하는 것이 좋지 않다는 것입니다. 여러가지 현상들이 복합적으로 연결되어있거든요..