이번 포스팅에서 다룰 내용은 Gummel Number라는 것입니다. 검멜 넘버는 물리적 의미는 전혀 가지고 있지 않습니다. 단순히 Ic(Collector current)를 modeling 하는데 사용됩니다. 우선 collector current식은 저번 포스팅에서 한 것처럼 이렇습니다.
콜렉터 전류에서 앞부분 중 일부를 GB로 잡는 것입니다. 그래서 GB는 아래와 같이 나오게 됩니다. 이것을 Base Gummel Number라고 합니다. 왜냐하면 NB나 nib^2이 Base에 관련된 텀이기 때문이죠. 하지만 Ic를 계산할 때 우리는 uniform doping이 되어있다고 가정을 하였습니다. 하지만 공정 과정에서 nonuniform하게 doping이 될 수도 있으므로 일반적인 표현을 사용할 필요가 있습니다. 따라서 베이스 nonuniform 도핑이 되거나 High-level injection된 상태가 된다고 하면 도핑 농도는 x에 대해서 변하게 됩니다. 따라서 우리는 단순히 WB를 곱하는 것 대신에 x에 대해서 적분을 하는게 적절하다는 결론에 도달할 수 있습니다.
따라서 베이스 검멜 넘버는 x에 대해서 [0,WB] 구간을 적분하면서 일반적인 식을 얻게 될 수 있습니다. 그리고 nib=ni, DB(Base diffusion constant)가 constant하고, P(x)=NB(X) (즉 low-level injection) 이라는 특별한 상황에서는 검멜 넘버는 다음과 같이 표현이 될 수가 있습니다.
ni,nib는 서로 약분되어 날아가며 DB는 constant하기 때문에 적분식 밖으로 빠져나오게 됩니다. 그리고 P는 nonuniform 도핑이므로 x에 대한 함수가 됩니다. 따라서 이런 식이되며, 적분한 결과의 단위를 계산해보면 /cm^2이 됩니다. 따라서 저런 특수한 경우에 베이스 검멜 넘버는 단위 면적당 베이스 도핑 농도를 base diffusion constant로 나눈 값이 되게 됩니다. 그래서 정리해보면 검멜넘버는 이런 경우에 변할 수 있습니다.
1. Base의 기본 물질이 바뀐다.
- 예를 들어 원래는 베이스 물질로 Si을 사용하였는데 베이스에 GaAs를 사용하였다고 하면 밴드갭이 변합니다. 밴드갭이 변하게 된다면 intrinsic 농도가 변하게 됩니다. 따라서 nib와 ni는 다른 값을 가지게 되므로 검멜 넘버는 이런 경우에 변할 수 있습니다.
2. nonconstant DB
- diffusion constant는 free carrier의 mobility에 의해 결정됩니다. 그리고 mobility는 doping 농도의 함수가 됩니다. doping이 많으면 그곳에 atom들이 많아지므로 scattering이 증가하면서 mobility가 감소하므로 당연한 이야기입니다. 다시 돌아와서, doping이 nonuniform하게 되어있다면, 각 점마다 mobility가 다르므로 mobility 역시 x의 함수가 되며, 따라서 DB역시 x의 함수가 됩니다.
3. nonuniform base doping , high-level injection
- 유니폼하게 도핑되어있지 않다면 농도함수는 x에 대해 변하게 됩니다.
또 하이레벨 인젝션이 된다면, 아무리 유니폼하게 도핑이 되어 있다고 하더라도 하이레벨 인젝션이 되는 순간 이미 유니폼하게 도핑된 것은 의미가 없어집니다. 다음 포스팅에서 다룰 high level injection에서 이 부분은 설명하기로 하겠습니다. 여튼, 그리하여 유니폼하지 않게 농도가 분포하므로 따라서 x에 대해 변하게 됩니다.
이 세 가지 정도의 경우에 검멜 넘버가 변한다고 보시면 됩니다. 또한 앞서 이야기 한 것처럼 검멜넘버는 컬렉터 전류를 모델링하는데 사용된다고 하였습니다. 여기서 우리는 검멜 넘버가 무엇인지 대충 알게 되었습니다. 그리고 포스팅 초기에 말씀드린것처럼 검멜넘버는 물리적 의미는 없으면 전류를 모델링 하는데 사용하는 것입니다.
이게 앞에서 이야기한 검멜넘버입니다. 콜렉터 전류를 크게 만드려면, GB는 IC에 반비례하므로 GB는 작아져야 합니다.
따라서 NB가 작아져야 하는 겁니다. 여기서 우리는 앞서 포스팅에서 이야기한 도핑 농도가 이미터>베이스>컬렉터 이렇게 되어야 하는 이유를 하나 알게 되었습니다. 그리고 GB는 위에서 설명했듯이 여러가지로 잘 변하게 됩니다. 따라서 결정하기가 쉽지 않죠. 그래서 검멜 넘버를 쉽게 결정하기 위해서 우리는 Gummel Plot이라는 것을 사용합니다. VBE-log(Ic) 그래프를 그리는거지요.. 그것을 검멜 플롯이라고 합니다. 우선 앞에서 구한 Ic 식을 가지고 옵니다.
다음과 같아지죠.. 여기서 앞쪽의 텀을 Is라고 치환합니다. 그러면 다이오드 전류식과 같은 식이 나오죠..여기서 양변에 log를 취해주면, 아래와 같이 logIs + qVbe/(KT)로 근사화 된 식을 얻을 수 있습니다. logIs는 constant하며, 뒤에 있는 텀은 VBE에 대해 linear하게 변하게 되지요. 이 식에 대해서 그림을 그린다면 다음과 같이 그려집니다.
PN junction을 공부하셨던 분은 익숙한 그림일꺼라 생각합니다. 이런 그래프가 나옵니다. 우선은 GB를 구하기 위해서는 Is를 구해야합니다. 따라서 직선을 그대로 주욱 내려서 그리다가, VBE=0이 되는 시점에서 y축 값을 구하면 우리는 log(Is)를 구할 수 있게 됩니다.
logIs값을 구했다면, 넓이나 q등 다른 상수값들은 알고 있으므로 GB를 손쉽게 구할 수 있습니다. 하늘색 줄은 low level injection 구간이며 주황색은 high level-injection 구간입니다. 여기서 기울기가 변하게 되며, 기울기가 변하게 되는 y값을 Ikf(knee current)라고 합니다. knee current는 클수록 좋습니다. 그 이유는 low level injection인 구간이 증가하기 때문이죠.
주황색 부분은 ohmic loss 때문에 전압이 증가해도 전류가 거의 증가하지 않는 구간입니다. 반도체는 도핑 농도에 따라서 각각 다른 저항을 parastic 저항을 가지게 됩니다. 전류가 작을 때는 그 값을 무시해도 될 정도가 되는데, 전류가 커지게 되면 전류가 흐르게 되면서 parastic 저항에서 일어나는 voltage drop이 상당히 커지게 됩니다. 따라서 전압을 높게 걸어도 전류가 더 증가하지 않는 현상이 일어나게 됩니다. 여기까지가 이번 포스팅이며, 다음은 high level injection effect에 대해서 포스팅하겠습니다.